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《星 河 恋 歌》

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百年,能立碑么?(5)   

2015-10-15 02:21:34|  分类: 天文学习 |  标签: |举报 |字号 订阅

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                                 闲聊几句郭汉英(五,完)  

                                                                    http://jingjibird628.blog.163.com/blog/static/6580756220158191162631
我们先介绍一下初等数学中的圆锥曲线,也就是我们中学里学的平面解析几何中的二次曲线:椭圆,抛物线,双曲线。这三种曲线之所以被称为圆锥曲线,是因为古希腊数学大牛阿波罗尼斯,他老人家用平面去切圆锥,随着平面的位置不同而分别得到三种曲线,见下图,分别对应抛物线,椭圆和双曲线。其中抛物线是比较特别的,它要求平面和圆锥母线平行,这种特别情形恰好界定了椭圆和双曲线。
闲聊几句郭汉英(五,完) - 紫荆棘鸟 - -*-紫色王家思絮絮-*-
 
阿波罗尼斯可是个圆锥曲线领域罕见的集大成者。在在世时几乎将圆锥曲线的所有重要性质一网打尽,以至这个领域以后一千多年没有本质的进展,直到哲学家笛卡儿发明了解析几何为止。

大家知道,科学的本质虽然是归纳的,但是使得科学变得 robust 的原因,却是演绎推理,从这个意义而言,说欧几里德和阿基米德师徒创立的公理体系是现代文明的摇篮,一点都不是谬赞。欧几里德几何依赖五个公设,其中第五公设是:
            过直线外一点,恰好可以作一条直线和这条直线平行。

历史上许多数学家在思考这第五公设(具体从略)。后来俄罗斯的罗巴切夫斯基和匈牙利的鲍耶分别独立发现了第一种非欧几何:罗巴切夫斯基几何,它将这条公设改为:
            过直线外一点,可以作无数条直线和这条直线平行。

高斯可能也独立发现了这种几何,不过鉴于高斯的保守,他没有发表他的结果而已。在极端情况下,罗巴切夫斯基几何(也称为双曲几何)的三角形周长是无穷大,内角和等于 0.后来高斯的学生黎曼将第五公设改为:
            过直线外一点,不能作任何直线和这条直线平行。
从而得到另一种非欧几何:黎曼几何,或者称为椭圆几何。椭圆几何比较直观的表示可以在欧几里德球面上实现:例如直线就是球面的大圆,因为大圆都是相交的,所以椭圆几何里事实上没有平行线。

平面几何有两个重要的概念:长度和角度。这两种非欧几何和欧几里德几何的角度测量是一致的,同属“椭圆型”,取正值,但平面的曲率却可以为正值(椭圆几何),0(欧几里德几何)或者负值(双曲几何)。也就是说,这两种非欧几何和欧几里德几何相比,多了一个参量:曲率。欧几里德几何恰好是曲率等于0的情形,相当于两者的“临界点”,就如同抛物线和椭圆和双曲线的关系一样。

这里,概念上必须要强调的是,尽管我们将这个参量称为“曲率”,但并不是说椭圆几何和双曲几何是弯曲的空间,相反,它们和欧式几何一样,属于“平直的空间”,只不过我们用欧氏空间去表示它们,我们需要个多余的参量,而这个参量被称为曲率而已。

类似的,关于角度的测量,也有“双曲型的”,这样,根据对长度和角度测量的不同,我们有多中非欧几何,见下表:

角度测量分类
长度测量分类
椭圆型
抛物型
双曲型
椭圆型
椭圆几何学/黎曼几何
欧几里得几何学
双曲几何学/罗氏几何
抛物型
... ... ... ...
加利略几何学
... ... ... ...





圆锥曲线中最简单的就是抛物线,加
利略几何学对应于抛物-抛物的情形,所以它本质上是最简单的几何。黎曼几何和罗巴切夫斯基几何事实上最复杂,因为它们多了个参量。

好,下面我们来看如何推广或者改写狭义相对论以及广义相对论,这正是郭汉英等人的工作。老爱说,物理的结构本质上应该是几何的,我们来看看这句话到底是什么意思。

考察狭义相对论。前面我们说了,我们对时空的直观感觉就是时间和空间彼此是独立的,其一个推论就是,速度可以是0,也可以是无穷大。但,慢着,如果万一时间和空间彼此不完全独立,它们之间存在个制约关系,那会如何呢?这种可能性看上去很荒谬,但理论上却是可能的。这虽然有悖于我们的常识,但也可能是因为这种制约通常很弱,我们一般觉察不到/span>28px;" >n98px;" cus可膇但纒pan s 24px; col虻サ论緀逑喽月 >世界是有限允0@杪就必定 ><着极大喽月极小的道理。桶⒅埂上俊捌可膇并-hei理由事先假设pan>宇宙高斯限允0对不对?懒pan>宇宙高有限允0那么假设某莆西从宇宙 an>个地方不花pan>侵就能跑蛘驼馓个地方谴起来有些馑淙挥对不对港种圃宇宙都有限鞘奔你在里面运动(欧几不花侵 芮,籩-he锏略吧?yle="lin;" >圆锥曲线中最简单的3" align;" >圆锥曲线中最简单的3" alignpx; font-size: 14px;" >
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欧几里得几何学
角度测量分类
角度测量分类
椭圆型
角度测量分类... ... ... ...
角度测量分类
椭圆型

欧几里得几何学

抛物型

双曲几何学/罗氏几何... ... ... ...

抛物型



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